Cours d'Optique Géométrique Chapitre 2

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LOIS DE DESCARTES
Applications élémentaires


2.1 COMPLÉMENTS SUR LES LOIS DE LA RÉFRACTION

2.1.1 ANGLE DE RÉFRACTION LIMITE

Si la lumière passe d’un milieu (1) moins réfringent à un milieu (2) plus réfringent, c’est-à-dire si n1n2, d’après la 3ème loi de DESCARTES on a :


           (2.1)

car les 2 angles sont aigus et de même signe figure1

Figure 1: Réfraction sur un dioptre

A tout rayon incident A1I correspond un rayon réfracté IA2. Le rayon réfracté se rapproche de la normale en passant dans le milieu plus réfringent.

Pour l’incidence rasante, le rayon incident est pratiquement tangent à la surface du dioptre. Lorsque i1 varie entre - à + , i2 varie entre les valeurs
- et +.


                   (2.2)

Remarque : Si le milieu (1) est de l’air et si n est l’indice relatif du milieu (2) par rapport à l’air on a la formule de définition de l’angle limite qui devient simplement :


              (2.3)

Pour étudier les variations de i2 en fonction de i1 il suffit de différentier la 3ème loi de DESCARTES :         
           (2.4)
            
La dérivée toujours positive s’annule s'i1 est égale à  π/2 et est peu différente de n1/n2     si i1 est faible (loi de KEPLER) comme le montre la figure2




Figure 2: Cas n2 > n1
2.1.2 RÉFLEXION TOTALE

Si la lumière passe d’un milieu plus réfringent (1) à un milieu moins réfringent (2), le rayon réfracté s’éloigne de la normale. L’angle i2 devient égal à  si l’angle i1 prend la valeur ' telle que :

                      (2.5)


' est l’angle de réfraction limite. 

D’après le principe de retour inverse de la lumière ' ou inférieur à - ne peuvent pas être réfractés : ils subissent une réflexion totale et la surface de séparation des deux milieux se comporte alors comme un miroir parfait.

On peut à nouveau tracer la courbe de variation de i2 en fonction de i1 (figure 3 ) : la pente de la tangente à l’origine donnée par la loi de KEPLER est toujours n1/n2



Figure 3: Cas n2<n1

2.1.3 VÉRIFICATION EXPÉRIMENTALE


Emploi d’un demi cylindre d’indice n

Dans un plan de section principale, c’est-à-dire dans un plan perpendiculaire à l’axe du demi cylindre, un faisceau étroit de lumière parallèle passe par le centre de celui-ci. Dans ce plan le ” rayon lumineux ” qui traverse le milieu d’indice n est confondu avec un rayon du demi cercle et est normal à la surface courbe qu’il traverse donc toujours sans déviation.

Figure 4: Passage d’un milieu moins réfringent vers un milieu plus réfringent

Comme l’indique les figures 4,5 ce montage peut être utilisé aussi bien dans le cas du passage de la lumière d’un milieu moins réfringent (l’air d’indice 1) vers un milieu plus réfringent (le demi cylindre d’indice n) que l’inverse.


Figure 5: Passage d’un milieu plus réfringent vers un milieu moins réfringent


Pour l’étude de l’indice d’un liquide, on peut utiliser une cuve de forme également demi cylindrique, mais en verre ou en plastique à parois minces.

Il faut remarquer que si la lumière utilisée n’est pas monochromatique, on observe un étalement coloré du faisceau pour les forts angles d’incidence : ce phénomène est connu sous le nom de dispersion.

2.1.4 CONSTRUCTION GÉOMÉTRIQUE
Méthode des surfaces d’indice.

Le plan d’incidence est pris pour plan de figure.


En prenant I, le point d’incidence, pour centre, on trace deux cercles de rayons proportionnels à n1 et n2. Le prolongement du rayon incident A1I coupe le cercle ” de rayon n1 ” en A. Si TT' est la trace du plan tangent en I à la surface de séparation des deux milieux d’indices n1 et n2, la normale AH à TT' coupe le demi cercle ” de rayon n 2 ” en A2 . Le rayon réfracté est IA2. En effet :


         (2.6)

Dans le cas  n2> n1 le cercle ” de rayon n1 ” est intérieur au cercle ” de rayon n2 ” et la construction est toujours possible.

Si,au contraire, n2< n1




 

2.1.5 RÉFRACTION DANS UN MILIEU NON HOMOGÈNE
Cas d’un milieu formé de couches d’indices décroissant vers le haut

Il y a réfraction à la traversée de chacune des surfaces de séparation et le trajet de la lumière est formé d’une suite de tronçons rectilignes (figure6 ) .

L’angle d’incidence augmentant à chaque fois, une réflexion totale peut se produire en J et le rayon lumineux est alors renvoyé vers les couches inférieures.

Si la variation de l’indice est continue, la ligne brisée est remplacée par une courbe.

Figure 6:

Applications

Ces propriétés sont mises à profit pour réaliser des fibres optiques schématisées figure . La lumière est guidée à l’intérieur de la fibre et est intégralement transmise si le rayon de courbure n’est pas trop petit. En utilisant des fibres pour éclairer et des fibres pour regarder il est ainsi possible au médecin d’examiner ce qui se passe, par exemple, dans l’estomac d’un patient. technique connue sous le nom d’endoscopie.




Figure 7: Principe des fibres optiques à gradient d’indice

Les mirages sont explicables quand on sait que l’indice n de l’air augmente avec sa masse volumique 
            (2.8)

Dans une situation où le sol est très chaud, au fur et à mesure que l’on s’élève, la température de l’air décroît assez rapidement pour que la masse volumique et donc l’indice n croissent.




Figure 8:

Dans ces conditions la lumière issue de A (figure 8), dirigée vers le bas rencontre des couches à indice décroissant.

Pour des inclinaisons convenables, elle peut subir la réflexion totale. La lumière est renvoyée vers le haut et l’œil de l’observateur O qui la reçoit situe la source sur la tangente OA' : le coin de ciel bleu A donne l’illusion de la nappe d’eau en A' .

2.2 MIROIRS PLANS
2.2.1 DÉFINITION et RÉALISATIONS

UN MIROIR EST UNE SURFACE CAPABLE DE RÉFLÉCHIR LA LUMIÈRE PRESQU’EN TOTALITÉ QUEL QUE SOIT L’ANGLE D’INCIDENCE.

LE MIROIR EST PLAN SI LA SURFACE EST PLANE.

Le pouvoir réflecteur de la surface de séparation de deux milieux transparents, c’est-à-dire le rapport de ”la quantité” de lumière réfléchie sur celle de lumière incidente varie avec l’angle d’incidence. C’est le cas de la surface air/eau d’un lac par exemple où on sait qu’on peut être ébloui par la lumière réfléchie du soleil couchant (incidence rasante proche de  ) mais pas par la lumière réfléchie du soleil au zénith (angle d’incidence faible). C’est aussi le cas de la surface air/verre représenté par la courbe a (figure 9 ). En revanche, pour les surfaces polies de certains métaux ou alliages, le pouvoir réflecteur R est élevé, de l’ordre de 0,9, même pour un angle d’incidence nul (courbe b).



Figure 9:

On obtient des miroirs de bonne qualité en taillant une surface de verre à la forme souhaitée (plan, sphère, parabole) et en y déposant une pellicule métallique soit par voie chimique (cas des miroirs anciens à l’argent), soit par évaporation sous vide (cas des miroirs à l’aluminium ou au chrome).

Pour éviter l’altération de la couche métallique celle-ci est : soit derrière le verre et protégée par une peinture opaque dans le cas des miroirs à usage domestique (salles d’eau, magasins ... ), soit sur le verre et protégée par une couche de quelques dixièmes de micron de silice, déposée par pulvérisation cathodique, dans le cas plus coûteux des miroirs de qualité ” optique ”.

2.2.2 STIGMATISME DU MIROIR PLAN

Le rayon AH, normal au miroir, fait retour sur lui-même : l’image de A, si elle existe, est donc sur la normale.

Figure 10:

Le rayon réfléchi IR d’un rayon incident quelconque AI (figure 10) est dans le plan d’incidence AIN qui contient aussi AH (puisque AH et IN sont parallèles, comme droites perpendiculaires à un même plan, et que par définition A appartient au plan d’incidence). Le support de IR rencontre AH en un point A’.

Dans le triangle AIA' la hauteur IH est aussi la bissectrice, donc ce triangle est isocèle. Par conséquent IH est aussi la médiane et on a AH = HA'.

Ceci montre que A' est le symétrique de A par rapport au plan du miroir quel que soit le rayon incident considéré. Au point A, choisi quelconque pour la démonstration, correspond toujours un point A' tel que tous les rayons issus de A qui arrivent sur la surface du miroir se réfléchissent en passant par A'. On dit que A' est l’image de A. Elle est rigoureusement stigmatique et on peut énoncer :

LE MIROIR PLAN RÉALISE LE STIGMATISME RIGOUREUX POUR TOUT POINT DE L’ESPACE. L’IMAGE A’ D’UN POINT A EST LE SYMÉTRIQUE DE A PAR RAPPORT AU PLAN DU MIROIR.

La figure ci-après montre que l’objet et l’image sont toujours de natures opposées.






2.2.3 IMAGE D’UN OBJET ÉTENDU

La propriété étant vraie pour chaque point de l’espace, l’image d’un objet étendu est le symétrique de cet objet par rapport au plan du miroir.

Figure 11: L’image est égale à l’objet dans toutes ses dimensions mais ne lui est, en général, pas superposable

2.2.4 CHAMP D’UN MIROIR PLAN

Soit un miroir M (figure 12) ; l’œil étant en O, les points de l’espace vus par O dans le miroir constituent le champ du miroir.

Un point A est vu si parmi tous les rayons issus de A il en existe au moins un qui, réfléchi par M, passe par O. C’est le cas de AI qui passe par l’image O' de O à travers M (l’étudiant se convaincra de ce résultat en recherchant les propriétés géométriques de la figure ou en appliquant le principe de retour inverse de la lumière).




Figure 12:

LE CHAMP DU MIROIR EST LIMITÉ PAR LE CÔNE DE SOMMET O’ S’APPUYANT SUR LE CONTOUR DU MIROIR.

2.3 DIOPTRE PLAN
2.3.1 RECHERCHE DU STIGMATISME RIGOUREUX

UN DIOPTRE PLAN EST CONSTITUÉ PAR L’ENSEMBLE DE DEUX MILIEUX TRANSPARENTS D’INDICES DIFFÉRENTS SÉPARÉS PAR UNE SURFACE PLANE.

On dit aussi que les deux milieux sont inégalement réfringents. C’est ainsi que, par exemple, l’air et l’eau calme d’une piscine ou d’un lac, réalisent un dioptre plan.

Les rayons issus du point objet A1 situé dans le milieu (1) d’indice n1 se réfractent en passant dans le milieu (2) d’indice n2. On cherche, en effectuant un raisonnement purement géométrique, s’il existe des points particuliers qui réalisent le stigmatisme rigoureux : c’est-à-dire pour lesquels tous les rayons issus du point objet passent par un même point après réfraction.
A1 est à l’infini



Figure 13:

Tous les rayons incidents sont parallèles entre eux et forment un faisceau cylindrique.

D’après la 3ème loi de DESCARTES : n1sin i1 = n2sin i2 tous les rayons émergents sont eux aussi parallèles et donc, pour un observateur, ils paraissent provenir d’un point A2 unique qui est également à l’infini.
A1 est sur la surface.

Dans ce cas le stigmatisme rigoureux est évident. Mais ceci ne présente aucun intérêt pratique.
A1 est à distance finie

Figure 14:

Le système est de révolution autour de la normaleA1H. Le rayon A1H traverse la surface sans déviation. Si une image de A1 existe, elle est donc nécessairement sur A1H.

Pour dessiner la figure 14 on se place dans le plan d’incidence correspondant à un rayon incident quelconque. Le rayon réfracté coupe A1H en A . On a :



                      (2.9)

Pour les différents rayons issus de A1, i1 varie et   n’est pas constant puisque    l’est. Les rayons réfractés ne se rencontrent donc pas tous en un même point. On peut préciser :

IL N’Y A PAS STIGMATISME RIGOUREUX POUR LES POINTS A DISTANCE FINIE.

LE SEUL CAS INTÉRESSANT DE STIGMATISME RIGOUREUX POUR LE DIOPTRE PLAN EST CELUI DES POINTS A L’INFINI.

2.3.2 ÉTUDE DES IMAGES DANS LE CAS DU STIGMATISME APPROCHÉ
 Stigmatisme.

Si l’angle i1 est faible il en est de même pour l’angle i2 et on peut écrire :
                    (2.10)


On obtient alors avec une bonne approximation :
                   (2.11)

Cette relation peut être mise sous la forme symétrique :


                                          (2.12)

On verra lors de l’étude du dioptre sphérique qu’on peut considérer un plan comme le cas particulier d’une sphère de rayon infini et qu’on retrouve alors plus facilement la formule de conjugaison du dioptre plan sous la forme :




                              (2.13)

Les relations établies montrent que HA1 et HA2 sont de même signe et donc que A1 et A2 sont dans le même milieu et, par conséquent, de natures opposées comme le montre la figure 15.

L’image A2  se déduit de A1 par une translation apparente, le long de la normale, d’amplitude :


                       (2.14)




Figure 15:

Image d’un objet étendu. Si les rayons émis par un objet situé dans un plan P et reçus par un observateur sont presque normaux à la surface du dioptre son image est dans un plan P ' dont chaque point A2 est l’image d’un point A1 de P située à une distance de la surface du dioptre égale à n1/n2  fois celle de A1 . Si P n’est pas parallèle à la surface du dioptre, les proportions ne sont pas conservées dans toutes les directions et l’image n’est plus semblable à l’objet.

Mais, si l’objet A1B1 est dans un plan P parallèle à la surface du dioptre (soit donc dans un plan perpendiculaire à ” l’axe ” A1H), l’image A2B2 est, parallèle à l’objet, égale, de même sens et de nature opposée à celui-ci.

Dans ces conditions on dit que le dioptre plan réalise l’aplanétisme. L’ensemble des conditions énoncées s’appliquera à beaucoup d’autres systèmes optiques.

Le stigmatisme approché et l’aplanétisme sont réalisés pour les points voisins du point objet AO et du point image AI (qui sont sur l’axe sur lequel est placé l’œil de l’observateur) pour lesquels les rayons à considérer, c’est-à-dire ceux qui traversent l’instrument et parviennent à l’observateur, sont peu inclinés sur l’axe.

Ces deux exigences :
- POINTS VOISINS DE L’AXE OPTIQUE
- RAYONS PEU INCLINÉS SUR L’AXE

constituent les conditions de l’approximation DE GAUSS qu’on résume couramment en disant que les rayons concernés par la formation de l’image à travers l’instrument sont des RAYONS PARAXIAUX.


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