Cours d'Optique Géométrique Chapitre 5
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5.1 LENTILLES ÉPAISSES
5.1.1 DÉFINITIONS
Une lentille est un système centré formé par un milieu transparent homogène et isotrope limité par deux surfaces sphériques de rayons respectifs Les deux faces baignent dans un même milieu. n désigne l’indice de la lentille relatif au milieu ambiant (si celui-ci est l’air n est pratiquement l’indice absolu).
5.1.2 CALCUL DE LA DISTANCE FOCALE D’UNE LENTILLE
Remarque :
Comme tout système centré une lentille a évidemment une distance focale objet f et une distance focale image f'. Mais puisqu’il s’agit d’un système centré avec milieux extrêmes identiques d’indice égal à 1, il est convenu que ” LA ” distance focale d’une lentille est sa distance focale image que l’on notera φ
Pour effectuer les calculs il suffit de considérer que la lentille est formée par l’association de deux systèmes centrés :
- le dioptre d’entrée de rayon S1C1= R1. Pour celui-ci, avec les conventions habituelles n1=1 et n2=n et les points principaux H1 et H1' sont confondus avec S1 .
- le dioptre de sortie de rayon S2C2=R2. Pour celui-ci, avec les conventions habituelles n1=n et n2=1 et les points principaux H2 et H2' sont confondus avec S2 .
La vergence d’un dioptre est donnée par :
La vergence du dioptre d’entrée est donc :
et celle du dioptre de sortie :
On applique alors la formule de GULLSTRAND en remarquant que:
l’indice N du milieu intermédiaire est dans ce cas égal à n et e =H1'H2 =S1S2.
La relation :
donne :
5.1.3 POSITION DES FOYERS
Le foyer image F' de la lentille est l’image du foyer image F1' du dioptre d’entrée à travers le dioptre de sortie. Par application des formules de conjugaison de NEWTON il vient :
De même, le foyer objet F de la lentille a pour image le foyer objet F2 du dioptre de sortie à travers le dioptre d’entrée
En introduisant ” l’intervalle optique ” F1'F2=F1'S1+S1S2+S2F2 qui s’écrit aussi :
on voit que la position du foyer objet F de la lentille par rapport au foyer objet F1' du dioptre d’entrée comme la position du foyer image F' de la lentille par rapport au foyer image F2' du dioptre de sortie sont données par des relations déjà rencontrées dans le cas le plus général.
5.1.4 CENTRE OPTIQUE
Le centre optique O d’une lentille est défini comme le point de l’axe ” appartenant ” au milieu d’indice n tel qu’à tout rayon intérieur dont le support passe par O correspondent un incident et un émergent parallèles entre eux.
Remarque : le point O ” appartient ” toujours au milieu d’indice n mais ceci
n’implique pas qu’il soit obligatoirement situé entre S1 et S2.
Pour déterminer O, on considère (figure 2) une normale arbitraire C1I1 au dioptre d’entrée et la normale C2I2, au dioptre de sortie, qui lui est parallèle.
Suivant la 3ème loi de Descartes l’incident SI1 et l’émergent I2R qui correspondent au rayon intérieur I1I2 sont parallèles entre eux. Le support de I1I2 coupe l’axe qui joint les centres C1 et C2 des deux faces de la lentille, c’est-à-dire l’axe principal, au point O
conformément à la définition du centre optique.
Les triangles OC1I1 et OC2I2 sont semblables puisque tous leurs angles sont égaux.
On en déduit :
d’où :
ou, de même :
Il faut remarquer que, dans les conditions de l’approximation de GAUSS, l’incident et l’émergent correspondants à un rayon intérieur passant par le centre optique O coupent l’axe aux points nodaux N et N' de la lentille qui sont confondus avec les points principaux H et H' .
Autrement dit : le centre optique O est l’image du point nodal objet N de la lentille à travers le dioptre d’entrée, ou l’image du centre optique O à travers le dioptre de sortie est le point nodal image N'.
5.2 LENTILLES MINCES
En optique une lentille est considérée comme mince si on peut, avec une très bonne approximation, confondre les sommets S1 et S2 et le centre optique O.
Il faut évidemment que l’épaisseur e soit négligeable devant les rayons de courbure des faces : si e<<R1 et e<<R2 la vergence de la lentille ne dépend pas de e et , d’après
la relation 5.1, est simplement exprimée par :
Mais cette condition, nécessaire pour pouvoir considérer que S1 est confondu avec S2 , n’est pas suffisante pour que ce point coïncide en première approximation avec le centre optique O. Il faut de plus que OS1 et OS2 soient négligeables ce qui implique e<<R2-R1.
S1 , S2 et O étant confondus, les points nodaux et les points principaux sont aussi confondus. Une lentille mince est alors complètement définie par la connaissance de la distance focale φ3 donne les représentations conventionnelles des lentilles minces convergentes
Les points principaux étant confondus avec le centre optique, on retrouve très vite les formules des lentilles minces avec origine au centre optique telles qu’elles ont été admises dans le secondaire :
5.3 EXEMPLE DE CALCUL
Pour illustrer les considérations générales sur les lentilles, on se propose d’étudier, à titre d’exemple, une lentille biconcave en verre d’indice n =5/3. Les faces ont des rayons de courbure égaux à 12cm et leurs sommets sont séparés de 1,2cm
Pour commencer, après avoir fait un croquis à une échelle pratique, il faut donner les valeurs algébriques correctes aux variables intervenant dans les formules.
En s’aidant de la figure 4 on voit que :
S1C1=R1=-12cm =-120mm, S2C2=R2=+12cm=+120mm, e=S1S2=+12mm.
On calcule alors la distance focale image en utilisant la relation 5.1 :
soit
Le second résultat qui correspond à la relation 5.7 est une bonne approximation du premier si on ne cherche pas une précision supérieure à 2%.
On calcule ensuite la position du centre optique. A l’aide de la relation 5.6, on obtient:
Conformément à la symétrie du système on trouve bien O au centre de la lentille.
Si on ne cherche pas une très grande précision la lentille qui est divergente peut être considérée comme mince avec une distance focale de -90mm.
Si on veut davantage de précision, il est nécessaire de déterminer la position des éléments cardinaux. Comme on connaît déjà la distance focale φ'. Du fait de la symétrie du système on pourra se contenter de calculer F2'F' : on aura F1F=-F2'F'.
Auparavant il faut calculer les distances focales des dioptres d’entrée et de sortie après avoir pris soin d’identifier aux données du problème les variables intervenant dans les relations 3.2 et 3.3 .
Pour le dioptre d’entrée : n1= 1, n2=n=5/3 , R=R1=-120mm.
D’où (3.2) la distance focale image :
et (3.3) la distance focale objet :
Pour le dioptre de sortie : n1= n=5/3, n2= 1, R=R2=+120mm
D’où (3.2) la distance focale image :
et (3.3) la distance focale objet :
On peut remarquer que ces derniers résultats sont évidents du fait de la symétrie entrée-sortie.
L’intervalle optique F1'F2=F1'S1+S1S2+S2F2 est donné par :
On en déduit d’après 5.3 que :
et d’après 5.2 :
Ceci permet de calculer, par exemple la position du point principal image H' par rapport au sommet S2 de la face de sortie :
On trouverait de même S1H = +3,53mm. Les plans principaux sont à l’intérieur de la lentille entre le centre optique et les faces.
Remarque : on pourra contrôler les résultats en calculant la position de l’image du centre optique O à travers le dioptre de sortie. On sait qu’il s’agit du point nodal image N' qui doit être confondu avec le point principal image H' puisque les deux faces de la lentille baignent dans le même milieu.
►Voir aussi Exercices Corrigés d'otique géométrique
LENTILLES
5.1 LENTILLES ÉPAISSES
5.1.1 DÉFINITIONS
Une lentille est un système centré formé par un milieu transparent homogène et isotrope limité par deux surfaces sphériques de rayons respectifs Les deux faces baignent dans un même milieu. n désigne l’indice de la lentille relatif au milieu ambiant (si celui-ci est l’air n est pratiquement l’indice absolu).
Figure 1: On distingue 6 types différents de lentilles
Remarque :
Comme tout système centré une lentille a évidemment une distance focale objet f et une distance focale image f'. Mais puisqu’il s’agit d’un système centré avec milieux extrêmes identiques d’indice égal à 1, il est convenu que ” LA ” distance focale d’une lentille est sa distance focale image que l’on notera φ
Pour effectuer les calculs il suffit de considérer que la lentille est formée par l’association de deux systèmes centrés :
- le dioptre d’entrée de rayon S1C1= R1. Pour celui-ci, avec les conventions habituelles n1=1 et n2=n et les points principaux H1 et H1' sont confondus avec S1 .
- le dioptre de sortie de rayon S2C2=R2. Pour celui-ci, avec les conventions habituelles n1=n et n2=1 et les points principaux H2 et H2' sont confondus avec S2 .
La vergence d’un dioptre est donnée par :
La vergence du dioptre d’entrée est donc :
et celle du dioptre de sortie :
On applique alors la formule de GULLSTRAND en remarquant que:
l’indice N du milieu intermédiaire est dans ce cas égal à n et e =H1'H2 =S1S2.
La relation :
donne :
(5.1)
5.1.3 POSITION DES FOYERS
Le foyer image F' de la lentille est l’image du foyer image F1' du dioptre d’entrée à travers le dioptre de sortie. Par application des formules de conjugaison de NEWTON il vient :
(5.2)
De même, le foyer objet F de la lentille a pour image le foyer objet F2 du dioptre de sortie à travers le dioptre d’entrée
(5.3)
En introduisant ” l’intervalle optique ” F1'F2=F1'S1+S1S2+S2F2 qui s’écrit aussi :
(5.4a)
on voit que la position du foyer objet F de la lentille par rapport au foyer objet F1' du dioptre d’entrée comme la position du foyer image F' de la lentille par rapport au foyer image F2' du dioptre de sortie sont données par des relations déjà rencontrées dans le cas le plus général.
5.1.4 CENTRE OPTIQUE
Le centre optique O d’une lentille est défini comme le point de l’axe ” appartenant ” au milieu d’indice n tel qu’à tout rayon intérieur dont le support passe par O correspondent un incident et un émergent parallèles entre eux.
Figure 2:
Remarque : le point O ” appartient ” toujours au milieu d’indice n mais ceci
n’implique pas qu’il soit obligatoirement situé entre S1 et S2.
Pour déterminer O, on considère (figure 2) une normale arbitraire C1I1 au dioptre d’entrée et la normale C2I2, au dioptre de sortie, qui lui est parallèle.
Suivant la 3ème loi de Descartes l’incident SI1 et l’émergent I2R qui correspondent au rayon intérieur I1I2 sont parallèles entre eux. Le support de I1I2 coupe l’axe qui joint les centres C1 et C2 des deux faces de la lentille, c’est-à-dire l’axe principal, au point O
conformément à la définition du centre optique.
Les triangles OC1I1 et OC2I2 sont semblables puisque tous leurs angles sont égaux.
On en déduit :
d’où :
(5.5)
ou, de même :
(5.6)
Il faut remarquer que, dans les conditions de l’approximation de GAUSS, l’incident et l’émergent correspondants à un rayon intérieur passant par le centre optique O coupent l’axe aux points nodaux N et N' de la lentille qui sont confondus avec les points principaux H et H' .
Autrement dit : le centre optique O est l’image du point nodal objet N de la lentille à travers le dioptre d’entrée, ou l’image du centre optique O à travers le dioptre de sortie est le point nodal image N'.
5.2 LENTILLES MINCES
En optique une lentille est considérée comme mince si on peut, avec une très bonne approximation, confondre les sommets S1 et S2 et le centre optique O.
Il faut évidemment que l’épaisseur e soit négligeable devant les rayons de courbure des faces : si e<<R1 et e<<R2 la vergence de la lentille ne dépend pas de e et , d’après
la relation 5.1, est simplement exprimée par :
(5.7)
Mais cette condition, nécessaire pour pouvoir considérer que S1 est confondu avec S2 , n’est pas suffisante pour que ce point coïncide en première approximation avec le centre optique O. Il faut de plus que OS1 et OS2 soient négligeables ce qui implique e<<R2-R1.
S1 , S2 et O étant confondus, les points nodaux et les points principaux sont aussi confondus. Une lentille mince est alors complètement définie par la connaissance de la distance focale φ3 donne les représentations conventionnelles des lentilles minces convergentes
Figure 3:
Les points principaux étant confondus avec le centre optique, on retrouve très vite les formules des lentilles minces avec origine au centre optique telles qu’elles ont été admises dans le secondaire :
(5.8)
5.3 EXEMPLE DE CALCUL
Pour illustrer les considérations générales sur les lentilles, on se propose d’étudier, à titre d’exemple, une lentille biconcave en verre d’indice n =5/3. Les faces ont des rayons de courbure égaux à 12cm et leurs sommets sont séparés de 1,2cm
Figure 4:
Pour commencer, après avoir fait un croquis à une échelle pratique, il faut donner les valeurs algébriques correctes aux variables intervenant dans les formules.
En s’aidant de la figure 4 on voit que :
S1C1=R1=-12cm =-120mm, S2C2=R2=+12cm=+120mm, e=S1S2=+12mm.
On calcule alors la distance focale image en utilisant la relation 5.1 :
soit
Le second résultat qui correspond à la relation 5.7 est une bonne approximation du premier si on ne cherche pas une précision supérieure à 2%.
On calcule ensuite la position du centre optique. A l’aide de la relation 5.6, on obtient:
Conformément à la symétrie du système on trouve bien O au centre de la lentille.
Si on ne cherche pas une très grande précision la lentille qui est divergente peut être considérée comme mince avec une distance focale de -90mm.
Si on veut davantage de précision, il est nécessaire de déterminer la position des éléments cardinaux. Comme on connaît déjà la distance focale φ'. Du fait de la symétrie du système on pourra se contenter de calculer F2'F' : on aura F1F=-F2'F'.
Auparavant il faut calculer les distances focales des dioptres d’entrée et de sortie après avoir pris soin d’identifier aux données du problème les variables intervenant dans les relations 3.2 et 3.3 .
Pour le dioptre d’entrée : n1= 1, n2=n=5/3 , R=R1=-120mm.
D’où (3.2) la distance focale image :
et (3.3) la distance focale objet :
Pour le dioptre de sortie : n1= n=5/3, n2= 1, R=R2=+120mm
D’où (3.2) la distance focale image :
et (3.3) la distance focale objet :
On peut remarquer que ces derniers résultats sont évidents du fait de la symétrie entrée-sortie.
L’intervalle optique F1'F2=F1'S1+S1S2+S2F2 est donné par :
On en déduit d’après 5.3 que :
et d’après 5.2 :
Ceci permet de calculer, par exemple la position du point principal image H' par rapport au sommet S2 de la face de sortie :
On trouverait de même S1H = +3,53mm. Les plans principaux sont à l’intérieur de la lentille entre le centre optique et les faces.
Remarque : on pourra contrôler les résultats en calculant la position de l’image du centre optique O à travers le dioptre de sortie. On sait qu’il s’agit du point nodal image N' qui doit être confondu avec le point principal image H' puisque les deux faces de la lentille baignent dans le même milieu.